מרחב דואלי

המרחב הדואלי של מרחב וקטורי V מעל שדה F, או הכללה של מרחב כזה, הוא המרחב של כל הפונקציות המעתיקות מן המרחב לשדה עליו מוגדר המרחב. למבנה זה יש חשיבות רבה באלגברה ליניארית ובפרט באנליזה פונקציונלית וגאומטריה דיפרנציאלית.

המרחב הדואלי של מרחב וקטורי

יהי $\ V$ מרחב וקטורי מעל השדה $\ F$ . המרחב הדואלי של $\ V$ הוא המרחב הווקטורי $\ V^{*}$ שאיבריו הם הפונקציות הליניאריות $\ V\to F$ , כאשר החיבור והכפל בסקלר מוגדרים נקודתית. איבר ב- $\ V^{*}$ נקרא פונקציונאל ליניארי.

אם $\ V$ בעל ממד סופי, אז הוא איזומורפי למרחב הדואלי שלו. אחרת, המרחבים אינם איזומורפיים: אם מניחים את אקסיומת הבחירה (הקובעת שלכל מרחב וקטורי יש בסיס), אז אפשר להציג את $\ V$ כסכום ישר של עותקים של שדה הבסיס, בעוד שהמרחב הדואלי הוא מכפלה ישרה של אותו מספר של עותקים, ולכן הממד שלו גדול יותר.

אפילו כאשר למרחב יש ממד סופי, האיזומורפיזם למרחב הדואלי אינו טבעי, והוא תלוי בבחירת בסיס. אם V הוא מרחב מכפלה פנימית, המצב נוח יותר: ההתאמה $\ x\mapsto \varphi _{x}$ כאשר $\ \varphi _{x}:y\mapsto (x,y)$ מהווה שיכון טבעי של V במרחב הדואלי שלו (שהוא איזומורפיזם אם הממד סופי).

לעומת זאת, יש שיכון טבעי $\ V\hookrightarrow V^{**}$ אפילו ללא מכפלה פנימית: הווקטור x מתאים לפונקציונל $\ s_{x}:V^{*}\rightarrow F$ המוגדר על ידי $\ s_{x}(f)=f(x)$ . גם כאן, אם הממד סופי זהו איזומורפיזם.

המרחב הדואלי של מרחב נורמי

ערך מורחב – פונקציונל

את קבוצת כל הפונקציונלים הליניאריים החסומים על מרחב ליניארי $\ X$ מסמנים ב- $\ X^{*}$ . זהו מרחב בנך ביחס לנורמה האופרטורית, והוא מכונה "המרחב הדואלי". אם מתרחשת תופעה של דואליות בדמות איזומורפיזם טבעי $X^{**}\cong X$ , אז $X$ מכונה "מרחב רפלקסיבי" (ובפרט הוא גם מרחב בנך). כל מרחב הילברט הוא רפלקסיבי, לפי משפט ההצגה של ריס.

הבסיס הדואלי

נניח כי $\ V$ מרחב נורמי מממד $n$ ויהי $\ \left\{v_{i}\right\}_{i=1}^{n}$ בסיס עבורו.

עבור כל $1\leq i\leq n$ נסמן ב- $\ f_{i}$ את הפונקציונאל הליניארי היחיד המוגדר על ידי $f_{i}(v_{j})=\delta _{i,j}$ , כאשר באגף ימין הדלתא של קרונקר. אזי הקבוצה $\ \left\{f_{i}\right\}_{i=1}^{n}$ מהווה בסיס ל- $\ V^{*}$ המכונה הבסיס הדואלי.

אם מציגים איבר מ- $\ V$ ופונקציונאל מ- $\ V^{*}$ באמצעות בסיסים אלו כווקטורי קואורדינטות, אז הפעלת הפונקציונאל על האיבר היא מכפלה סקלרית.

משפט אורבך

משפט אורבך קובע כי לכל מרחב נורמי $\ V$ מממד $n$ קיים בסיס $\ \left\{v_{i}\right\}_{i=1}^{n}$ המקיים $\|v_{i}\|=1$ לכל $1\leq i\leq n$ , כך שגם הבסיס הדואלי המתאים לו $\ \left\{f_{i}\right\}_{i=1}^{n}$ מקיים $\|f_{i}\|=1$ לכל $1\leq i\leq n$ (בנורמה האופרטורית).

ההוכחה למשפט זה מפתיעה ויחסית פשוטה: ניתן להניח ללא הגבלת הכלליות כי $V=\mathbb {C} ^{n}$ . העתקת הדטרמיננטה $\det :V^{n}=\mathbb {C} ^{n\times n}\to \mathbb {C}$ היא רציפה, ולכן $\left|\det \right|$ מקבלת מקסימום על כדור היחידה הקומפקטי של $\mathbb {C} ^{n\times n}$ . נניח כי מקסימום זה הוא המטריצה שעמודותיה הן $v_{1},\dots ,v_{n}\in \mathbb {C} ^{n}$ , שהן בבירור בלתי תלויות ולכן בסיס של $\mathbb {C} ^{n}$ . נגדיר $f_{i}\left(x\right)={\frac {\det \left(v_{1},\dots ,v_{i-1},x,v_{i+1},\dots ,v_{n}\right)}{\det \left(v_{1},\dots ,v_{n}\right)}}$ עבור $i=1,\dots ,n$ . לא קשה לוודא כי זהו הבסיס הדואלי של $v_{1},\dots ,v_{n}\in \mathbb {C} ^{n}$ וכי הוא מקיים את המבוקש.